Задача
Дана функція
$$f(х) = 0,2*х^4-15ln(x)+5. $$
Методом золотого перерізу обчислити з точністю
$$e = 0,05$$
знайти точку х* мінімуму функції f(х) і f(х*).
Розв’язання.
Обчислимо кількість кроків n
$$n>1+2,078*ln (2,5-1,5)/0,05=1+2,078*ln20=7,225.$$
Отже, n=8.
Оскільки число кроків знайдене, то перевірку умови завершення обчислень на попередніх кроках можна не робити.
Крок 1. Покладаємо
$$ a_1= a=1,5 ,$$
$$ b_1=b=2,5.$$
За формулою
$$ c=0,618a+0,382b,$$
обчислюємо
$$c_1=0,618a_1+0,382b_1=0,618*1,5+0,382*2,5=1,882$$
а потім за формулою
$$d=a+b-c $$
знаходимо
$$d_1=a_1+b_1-c_1=2,5+1,5-1,882=2,118.$$
Обчислюємо
$$f(c_1 )=f(1,882)=0,2*(1,882)^4-15ln(1,882)+5=-1,976 ,$$
$$f(d_1 )=f(2,118)=0,2*(2,118)^4-15ln(2,118)+5=-2,2324.$$
Порівнюємо
$$f(c_1 )=-1,976 $$
і
$$ f(d_1 )=-2,2324:$$
$$f(c_1)=f(1,882)>f(2,118)=f(d_1).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,882; 2,5].
Крок 2. Покладаємо
$$a_2=1,882 ,$$
$$ b_1=2,5; $$
з обчислень на кроці 1 беремо
$$c_2=d_1=2,118,$$
$$ f(c_2 )=f(d_1 )=-2,2324.$$
Обчислюємо:
$$d_2=a_2+b_2-c_2=1,882+2,5-2,118=2,264,$$
$$f(d_2 )=0,2*(2,264)^4-15 ln(2,264)+5=-2,0023.$$
Порівнюємо
$$ f(c_2 )=-2,2324 $$
і
$$ f(d_2 )=-2,0023: $$
$$f(c_2 )<f(d_2).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,882; 2,264].
Крок 3. Покладаємо
$$ a_2=1,882 ,$$
$$ b_2=2,264;$$
з обчислень на кроці 2 беремо
$$d_3=c_2=2,118, $$
$$f(d_3 )=f(c_2 )=-2,2324.$$
Обчислюємо:
$$c_3=a_3+b_3-d_3=1,882+2,264-2,118=2,028,$$
$$f(c_3 )=0,2*(2,028)^4-15 ln(2,028)+5=-2,2229.$$
Порівнюємо
$$f(c_3 )=-2,2229 $$
і
$$ f(d_3 )=-2,2324:$$
$$ f(c_3 )>f(d_3).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2,028; 2,264].
Крок 4. Покладаємо
$$a_4=2,028 ,$$
$$ b_4=2,264;$$
з обчислень на кроці 3 беремо
$$c_4=d_3=2,118, $$
$$f(c_4 )=f(d_3 )=-2,2324.$$
Обчислюємо:
$$d_4=a_4+b_4-c_4=2,028+2,264-2,118=2,174,$$
$$f(d_4 )=0,2*(2,174)^4-15 ln(2,174)+5=-2,181.$$
Порівнюємо
$$f(c_4 )=-2,2324 $$
і
$$ f(d_4 )=-2,181: f(c_4 )<f(d_4). $$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2,028; 2,174].
Крок 5. Покладаємо
$$a_5=2,028 , $$
$$b_5=2,174;$$
з обчислень на кроці 4 беремо \(d_5=c_4=2,118,\)\( f(d_5 )=f(c_4 )=-2,2324.\)
Обчислюємо:
$$c_5=a_5+b_5-d_5=2,028+2,174-2,118=2,084,$$
$$f(c_5 )=0,2*(2,084)^4-15 ln(2,084)+5=-2,2419.$$
Порівнюємо
$$f(c_5 )=-2,2419 $$
і
$$ f(d_5 )=-2,2324: f(c_5 )>f(d_5).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2,084; 2,174].
Крок 6. Покладаємо
$$ a_6=2,084 ,$$
$$ b_6=2,174; $$
з обчислень на кроці 5 беремо
\(c_6=d_5=2,118, \)\( f(c_6 )=f(d_5 )=-2,2324.\)
Обчислюємо:
$$d_6=a_6+b_6-c_6=2,084+2,174-2,118=2,14,$$
$$f(d_6 )=0,2*(2,14)^4-15 ln(2,14)+5=-2,2175.$$
Порівнюємо
$$ f(c_6 )=-2,2324 $$
і
$$f(d_6 )=-2,21775: f(c_6 )<f(d_6).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2,084; 2,14].
Крок 7. Покладаємо
$$ a_7=2,084 ,$$
$$ b_7=2,14; $$
з обчислень на кроці 6 беремо
\(d_7=c_6=2,118,\)\( f(d_7 )=f(c_6 )=-2,2324.\)
Обчислюємо:
$$c_7=a_7+b_7-d_7=2,084+2,14-2,118=2,106,$$
$$f(c_7 )=0,2*(2,106)^4-15 ln(2,106)+5=-2,2376.$$
Порівнюємо
$$ f(c_7 )=-2,2376 $$
і
$$ f(d_7 )=-2,2324: f(c_2 )<f(d_2). $$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2,084; 2,106].
Крок 8. Покладаємо
$$ a_8=2,084 ,$$
$$ b_8=2,106.$$
Оскільки це останній крок, то обчислюємо
$$e_8=2,106-2,084=0,022$$
і порівнюємо з
$$e=0,05: $$
$$e_8<e.$$
Процес завершено. Обчислюємо:
$$x^*=(2,084+2,106)/2=2,095 ,$$
\(f_{min}=f(x^* )=f(2,095)=0,2*(2,095)^4-15 ln(2,095)+5=-2,2406 .\)
Відповідь
\(Отже, x^*=2,095 ,f_{min}=-2,2406. \)
