Задача

Дана функція

$$f(х) = 0,2*х^4-15ln(x)+5. $$

Методом золотого перерізу обчислити з точністю

$$e = 0,05$$

знайти точку х* мінімуму функції f(х) і f(х*).

Розв’язання.

Обчислимо кількість кроків n

$$n>1+2,078*ln (2,5-1,5)/0,05=1+2,078*ln20=7,225.$$

Отже, n=8.

Оскільки число кроків знайдене, то перевірку умови завершення обчислень на попередніх кроках можна не робити.

Крок 1. Покладаємо

$$ a_1= a=1,5 ,$$

$$ b_1=b=2,5.$$

За формулою

$$ c=0,618a+0,382b,$$

обчислюємо

$$c_1=0,618a_1+0,382b_1=0,618*1,5+0,382*2,5=1,882$$

а потім за формулою

$$d=a+b-c $$

знаходимо

$$d_1=a_1+b_1-c_1=2,5+1,5-1,882=2,118.$$

Обчислюємо

$$f(c_1 )=f(1,882)=0,2*(1,882)^4-15ln(1,882)+5=-1,976 ,$$

$$f(d_1 )=f(2,118)=0,2*(2,118)^4-15ln(2,118)+5=-2,2324.$$

Порівнюємо

$$f(c_1 )=-1,976 $$

і

$$ f(d_1 )=-2,2324:$$

$$f(c_1)=f(1,882)>f(2,118)=f(d_1).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,882; 2,5].

Крок 2. Покладаємо

$$a_2=1,882 ,$$

$$ b_1=2,5; $$

з обчислень на кроці 1 беремо

$$c_2=d_1=2,118,$$

$$ f(c_2 )=f(d_1 )=-2,2324.$$

Обчислюємо:

$$d_2=a_2+b_2-c_2=1,882+2,5-2,118=2,264,$$

$$f(d_2 )=0,2*(2,264)^4-15 ln(2,264)+5=-2,0023.$$

Порівнюємо

$$ f(c_2 )=-2,2324 $$

і

$$ f(d_2 )=-2,0023: $$

$$f(c_2 )<f(d_2).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,882; 2,264].

Крок 3. Покладаємо

$$ a_2=1,882 ,$$

$$ b_2=2,264;$$

з обчислень на кроці 2 беремо

$$d_3=c_2=2,118, $$

$$f(d_3 )=f(c_2 )=-2,2324.$$

Обчислюємо:

$$c_3=a_3+b_3-d_3=1,882+2,264-2,118=2,028,$$

$$f(c_3 )=0,2*(2,028)^4-15 ln(2,028)+5=-2,2229.$$

Порівнюємо

$$f(c_3 )=-2,2229 $$

і

$$ f(d_3 )=-2,2324:$$

$$ f(c_3 )>f(d_3).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2,028; 2,264].

Крок 4. Покладаємо

$$a_4=2,028 ,$$

$$ b_4=2,264;$$

з обчислень на кроці 3 беремо

$$c_4=d_3=2,118, $$

$$f(c_4 )=f(d_3 )=-2,2324.$$

Обчислюємо:

$$d_4=a_4+b_4-c_4=2,028+2,264-2,118=2,174,$$

$$f(d_4 )=0,2*(2,174)^4-15 ln(2,174)+5=-2,181.$$

Порівнюємо

$$f(c_4 )=-2,2324 $$

і

$$ f(d_4 )=-2,181: f(c_4 )<f(d_4). $$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2,028; 2,174].

Крок 5. Покладаємо

$$a_5=2,028 , $$

$$b_5=2,174;$$

з обчислень на кроці 4 беремо \(d_5=c_4=2,118,\)\( f(d_5 )=f(c_4 )=-2,2324.\)

Обчислюємо:

$$c_5=a_5+b_5-d_5=2,028+2,174-2,118=2,084,$$

$$f(c_5 )=0,2*(2,084)^4-15 ln(2,084)+5=-2,2419.$$

Порівнюємо

$$f(c_5 )=-2,2419 $$

і

$$ f(d_5 )=-2,2324: f(c_5 )>f(d_5).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2,084; 2,174].

Крок 6. Покладаємо

$$ a_6=2,084 ,$$

$$ b_6=2,174; $$

з обчислень на кроці 5 беремо

\(c_6=d_5=2,118, \)\( f(c_6 )=f(d_5 )=-2,2324.\)

Обчислюємо:

$$d_6=a_6+b_6-c_6=2,084+2,174-2,118=2,14,$$

$$f(d_6 )=0,2*(2,14)^4-15 ln(2,14)+5=-2,2175.$$

Порівнюємо

$$ f(c_6 )=-2,2324 $$

і

$$f(d_6 )=-2,21775: f(c_6 )<f(d_6).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2,084; 2,14].

Крок 7. Покладаємо

$$ a_7=2,084 ,$$

$$ b_7=2,14; $$

з обчислень на кроці 6 беремо

\(d_7=c_6=2,118,\)\( f(d_7 )=f(c_6 )=-2,2324.\)

Обчислюємо:

$$c_7=a_7+b_7-d_7=2,084+2,14-2,118=2,106,$$

$$f(c_7 )=0,2*(2,106)^4-15 ln(2,106)+5=-2,2376.$$

Порівнюємо

$$ f(c_7 )=-2,2376 $$

і

$$ f(d_7 )=-2,2324: f(c_2 )<f(d_2). $$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2,084; 2,106].

Крок 8. Покладаємо

$$ a_8=2,084 ,$$

$$ b_8=2,106.$$

Оскільки це останній крок, то обчислюємо

$$e_8=2,106-2,084=0,022$$

і порівнюємо з

$$e=0,05: $$

$$e_8<e.$$

Процес завершено. Обчислюємо:

$$x^*=(2,084+2,106)/2=2,095 ,$$

\(f_{min}=f(x^* )=f(2,095)=0,2*(2,095)^4-15 ln(2,095)+5=-2,2406 .\)

Відповідь

\(Отже, x^*=2,095 ,f_{min}=-2,2406. \)


2016-06-05 • Просмотров [ 40 ]