Условие. Показать, что формулу Пуассона, определяющую вероятность появления "формула" событий за время длительностью t

                \(P_{t}(k)=\frac{(λt)^{k}\cdot e^{-λt}}{k!},\)                    (*)

можно рассматривать как матиматическую модель простейшего потока событий; другими словами, показать, что формула Пуассона 
отражает все свойства простейшего потока.
Решение. Из формулы (*) видно, что вероятность появления "формула" события за время длительностью t, при заданной интенсивности λ, является функцией только и t, что отражает свойство стационарности простейшего потока.
Формула (*) не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка времени, что отражает свойство 
отсутствия последействия.
Покажем, что рассматриваемая формула отражает свойство ординарности. Положив \(k=0\) и \(k=1\), найдем вероятность непоявления событий и вероятность появления одного события:

                               \(P_{t}(0)=e^{-λt},\)  \(P_{t}(1)=λte^{-λt}.\)

Следовательно, вероятность появления более одного события
                               \[P_{t}(k>1)=1-[P_{t}(0)+P_{t}(1)]=1-[e^{-λt}+λte^{-λt}].\]
Используя разположения функции "формула" в рад Макларена, после элементарных преобразований получим
                                   \[P_{t}(k>1)=(λt)^{2}/2+... .\]
Сравнивая \(P_{t}(1)\) и \(P_{t}(k>1)\), заключаем, что при малых значениях "формула" вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что отражает свойство ординарности.
Итак, формула Пуассона отражает все три свойства простейшего потока, поэтому ее можно рассматривать как математическую модель этого потока.

 

 


2017-12-21 • Просмотров [ 94 ]