Доведіть за допомогою методу математичної індукції.

Рішення

\(\large 7^n+3^n-2\) кратне \(\large 8\)

\(\large n=1: 7^1+3^1-2=8\) кратне \(\large8\).

Припустимо, що ця умова виконується при n=k, тобто

$$\large 7^k+3^k-2$$

ділиться на 8.

Доведемо, що ця умова виконується і при \(n=k+1,\)

тобто

$$\large 7^{k+1}+3^{k+1}-2$$

ділиться на 8.

$$\large 7^{k+1}+3^{k+1}-2=$$

$$\large =7\cdot7^k+3\cdot3^k-2=$$

$$\large =7\cdot(7^k+\frac{3}{7}\cdot3^k-\frac{2}{7})=$$

$$\large =7\cdot(7^k+\cdot3^k-2-\frac{4}{7}\cdot3^k+1\frac{5}{7})=$$

$$\large =7\cdot(7^k-3^k-3)-4\cdot3^k+12=$$

$$\large =7\cdot(7^k-3^k-3)-4(3^k-3).$$

Оскільки \(\large 7^k-3^k-2\) ділиться на 8. і \(\large4(3^k-3)\) -ділиться на 8, бо \(\large 3^k=3\) - число парне, ділиться на 2 і 4 ділиться на 4. Отже, при \(n=k+1\) ця умова виконується. Тому при \(\large 7^n+3^n-2\)  кратне \( \large 8\) будь-якому n.


 Похожие публикации
2017-06-05 • Просмотров [ 318 ]