Доведіть за допомогою методу математичної індукції.

Рішення

$$\large 2^{3n+3}-7n+41$$

ділиться на 49

$$\large n=1: 2^{3\cdot1+3}-7\cdot1+41=64-7+41=98$$

ділиться на 49.

Припустимо, що ця умова виконується при n=k, тобто

$$\large 2^{3k+3}-7k+41$$

ділиться на 49.

Доведемо, що ця умова виконується і при \(n=k+1,\)

тобто

$$\large 2^{3(k+1)+3}-7(k+1)+41=$$

$$\large =2^{3k+6}-7k-7+41=$$

$$\large =2^3\cdot2^{3k+3}-7k+41-7=$$

$$\large =8\cdot2^{3k+3}-7k+41-7=$$

$$\large =8(2^{3k+3}-\frac{7}{8}k+\frac{41}{8})-7=$$

$$\large =8(2^{3k+3}-7k+41 +6\frac{1}{8}k-\frac{287}{8})-7=$$

$$\large =8(2^{3k+3}-7k+41) +49k-287-7=$$

$$\large =8(2^{3k+3}-7k+41) +49k-294=$$

$$\large =8(2^{3k+3}-7k+41) +49(k-6).$$

Оскільки

$$\large (2^{3k+3}-7k+41)\vdots 49$$

і

$$\large 49(k-6)\vdots 49,$$

то при \(n=k+1\) умова виконується. Отже, цей вираз ділиться на 49.


 Похожие публикации
2017-06-05 • Просмотров [ 50 ]