Доведіть за допомогою методу математичної індукції.

Рішення

Якщо \(\large a_{1}=2; a_{2}=8; a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n},\) то \(\large a_{n}=3^n-1\)

Якщо, n=1, то \(\large a_{1}=3^1-1=2\) -правильно.

Припустимо, що ця умова виконуеться і при n=k, тобто \(\large a_{k}=3^k-1; a_{k-1}=3^{k-1}-1.\) Доведемо, що дана умова виконуеться і при n=k+1.

$$\large a_{k+1}4\cdot(3^{k-1})-3\cdot(3^{k-1}-1)=$$

$$\large=4\cdot3^k-4-3\cdot3^{k-1}+3=$$

$$\large=4\cdot3^k-3^k-1=3^k\cdot(4-1)-1=3^{k+1}-1.$$

Отже, ця умова виконуеться для будь-якого n.


 Похожие публикации
2017-06-05 • Просмотров [ 52 ]